Hola a todos... después de desaparecer un tiempo regreso a una actividad que me gusta mucho; ¡escribir para ustedes! dar a conocer algunas cosas que pudiera interesarles o ayudarles a resolver problemas ya sea de la vida diaria o bien a su vida como estudiante.
No recuerdo si ya había contado en una publicación anterior que actualmente curso el segundo módulo de mi semestre en Ing. Sistemas Computacionales, estoy llevando unas cuantas unidades de Álgebra Lineal, cuando me dieron a conocer esto dije: -'Típico, seguro nos darán un sistemita de ecuaciones y las resolveremos por sustitución, método algebraico, cancelación, graficación... [Métodos que te enseñan en la secundaria] '.
El problema fue cuando realmente nos dijeron [Después de ver números imaginarios]: -'Resuelvan esta ecuación: X1+5=7:
X1=7-5
X1=2
[n_n" Dificil?]
-'Ahora intenten con esta!!!!'
X1+3X2-2X3+2X5=0
2X1+6X2-5X3-2X4+4X5-3X6=-1
5X3+10X4+15X6=5
2X1+6X2+8X4+4X5+18X6=6
Madre Santa de la Papaya! bueno... no fue realmente esa fue una mas pequeña n_n y fue cuando dijo vamos a comenzar a ver matrices [Cuando dicen eso te quedas con cara de O.o -¿matrices de cuales profe?], bueno con las matrices podemos aplicar 2 métodos de solución:
Gauss
Gauss-Jordan
El objetivo es obtener una serie de '1' de forma escalonada y para esto puedes obtenerlos con estas 3 simples reglas:
- Multiplicando una fila por un número diferente de 0
- Multiplicando una final por un número diferente a 0 y sumándola a otra
- Cambiar una fila por otro [Solo cambiarlas de lugar]
Bueno al grano! tomando nuestro sistema de ecuaciones anterior quedaria:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
2
|
6
|
-2
|
-2
|
4
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
5
|
10
|
0
|
15
|
5
|
2
|
6
|
0
|
8
|
4
|
18
|
6
|
Si te diste cuenta fui acomodando cada coeficiente de cada X en cada cuadro así como la última columna es formada con los puros resultados, normalmente esta matriz se representa entre corchetes pero bendito dios... como saco corchetes aquí.
Ahora: tenemos que hacer que quede algo así:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
1
|
-2
|
-2
|
4
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
10
|
0
|
15
|
5
|
0
|
0
|
0
|
8
|
4
|
18
|
6
|
Obtener 'unos' a los que son llamados 'unos principales' pero te comento que es imposible obtenerlos de esta forma, pues cuando comencemos el proceso algunos lugares de esos 'unos' pueden quedar ceros, pero el objetivo es el mismo... obtener un uno principal en cada fila [Cada uno a la derecha del otro] no pueden haber 2 'unos' principales en una columna [Pudiera ser que un uno principal y un uno normal arriba si].
Bueno es hora de iniciar:
1.- Observa que el primer 1 ya esta listo y ni siquiera hicimos nada [ si tienes esa suerte dale gracias a dios] el primer uno principal debe estar a la izquierda de todos los demás.
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
2
|
6
|
-2
|
-2
|
4
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
5
|
10
|
0
|
15
|
5
|
2
|
6
|
0
|
8
|
4
|
18
|
6
|
2.- Tenemos que hacer cueste lo que cueste que lo que este abajo del primer uno principal sean ceros de manera que hay que eliminar el 2 de la segunda fila, esto lo hacemos multiplicando la primera fila por (-2) y se la sumamos a la segunda fila y queda de la siguiente manera:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
-2
|
0
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
5
|
10
|
0
|
15
|
5
|
| 2 |
6
|
0
|
8
|
4
|
18
|
6
|
3.-Observa que tenemos 2 ceros y nos falta otro 2 por eliminar repetimos el procedimiento... Multiplicamos la fila 1 por (-2) y la sumamos a la fila 4:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
-2
|
0
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
5
|
10
|
0
|
15
|
5
|
0
|
0
|
4
|
8
|
0
|
18
|
6
|
4.-Misión cumplida tenemos nuestro primer uno principal preparado ahora en la segunda fila tenemos que formar otro uno principal... si te diste cuenta en la segunda fila quedo 0 , 0 , -1 ... bueno el -1 es el mas próximo a poder ser convertido a uno principal y para eso ahora multiplicaremos únicamente la fila 2 por (-1) quedando de la siguiente forma:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
3
|
1
|
0
|
0
|
5
|
10
|
0
|
15
|
5
|
0
|
0
|
4
|
8
|
0
|
18
|
6
|
5.-Listo tenemos un uno principal en la fila 2 y ahora toca convertir todo los números de abajo [El 5 y 4] en ceros. Para el numero 5 fácil, multiplicamos la segunda fila por (-5) y la sumamos a la tercera fila quedando ahora así:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
3
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
4
|
8
|
0
|
18
|
6
|
6.- Madre Santa eres un asesino convertiste todo a ceros [naa... no hay problema] ahora falta convertir el 4 en cero también y lo hacemos multiplicando la fila 2 por (-4) y la sumamos a la cuarta fila:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
3
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
6
|
2
|
7.-Ya casi terminamos!! ya casi... obtuvimos los 2 ceros que necesitábamos ahora falta que en la tercera fila coloquemos un uno principal... Peroo.... espera... [Wait] todos los de la fila 3 son ceros entonces no hay forma por lo que debemos buscar en la cuarta fila y encontramos un maravilloso 6 que sera el próximo uno principal... lo hacemos multiplicando la fila 4 por (1/6) [Si... una fracción, también se puede] y realizando la cuenta queda:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
3
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1/3
|
8.- Listo! hasta aquí llega el método Gauss y ten en cuenta que ya no hay números abajo del 1 de la cuarta fila y sorpresa!! observa que si expresáramos la fila 4 en ecuacion quedaría así:
X6=1/3
Ya tienes una solución, pero para que sea mas rápido usaremos el método Gauss-Jordan desde ahora y el objetivo ahora es convertir en ceros todos los números que se encuentren arriba de los unos principales... el procedimiento es el mismo... comenzamos de derecha a izquierda: arriba del 1 principal de la fila 4 hay un 3 lo eliminamos multiplicando la fila 4 por (-3) y lo sumamos a la fila 2 y queda así:
1
|
3
|
-2
|
0
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1/3
|
9.-Ya casiiiiii.... espera un momento mas, ya todos arriba del 1 son ceros solo falta eliminar el -2 de la fila 1 que se encuentra arriba del uno principal de la fila 2 y lo hacemos multiplicando la fila 2 por (2) y sumamos a la fila 1 quedando asi:
1
|
3
|
0
|
4
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1/3
|
10.- Terminamos u_u temo que tengo una mala noticia observa con cuidado y ve que todos los resultados de la fila 1, 2 y 3 son cero... que crees que significa?
Solución:
X1=0 X2=0 X3=0 X4=0 X5=0 X6=1/3
Comprobación:
0+3(0)-2(0)+2(0)=0
0=0
2(0)+6(0)-5(0)-2(0)+4(0)-3(1/3)=-1
0-3/3=-1
5(0)+10(0)+15(1/3)=5
0+15/3=5
2(0)+6(0)+8(0)+4(0)+18(1/3)=6
0+18/3=60=0
2(0)+6(0)-5(0)-2(0)+4(0)-3(1/3)=-1
0-3/3=-1
5(0)+10(0)+15(1/3)=5
0+15/3=5
2(0)+6(0)+8(0)+4(0)+18(1/3)=6
Ahora a continuación agrego 2 ejemplos mas pero sin explicaciones solo especifico bajo cada tabla la operación que realicé.
Ejemplo 1:
x+y+2z=9
2x+4y-3z=1
3x+6y-5z=0
2x+4y-3z=1
3x+6y-5z=0
1
|
1
|
2
|
9
|
2
|
4
|
-3
|
1
|
3
|
6
|
-5
|
0
|
R1*(-2)+R2
1
|
1
|
2
|
9
|
0
|
2
|
-7
|
-17
|
3
|
6
|
-5
|
0
|
R1*(-3)+R3
1
|
1
|
2
|
9
|
0
|
2
|
-7
|
-17
|
0
|
3
|
-11
|
-27
|
R2*(1/2)
1
|
1
|
2
|
9
|
0
|
1
|
-7/2
|
-17/2
|
0
|
3
|
-11
|
-27
|
R2*(-3)+R3
1
|
1
|
2
|
9
|
0
|
1
|
-7/2
|
-17/2
|
0
|
0 |
-1/2
|
-3/2
|
R3*(-2)
1
|
1
|
2
|
9
|
0
|
1
|
-7/2
|
-17/2
|
0
|
0
|
1
|
3
|
z=3
Tomando en cuenta la fila 2:
y-7/2(3)=-17/2
y-21/2=-17/2
y=-17/2+21/2
y=4/2=2
Tomando en cuenta la fila 1:
x+2+2(3)=9
x+2+6=9
x+8=9
x=9-8
x=1
Solución:
x=1 y=2 z=3
Ejemplo 2:
X1+X2+2X3=8
-X1-2X2+3X3=1
3X1-7X2+4X3=10
1
|
1
|
2
|
8
|
-1
|
-2
|
3
|
1
|
3
|
-7
|
4
|
10
|
R1*(1)+R2
1
|
1
|
2
|
8
|
0
|
-1
|
5
|
9
|
3
|
-7
|
4
|
10
|
R1(-3)+R3
1
|
1
|
2
|
8
|
0
|
-1
|
5
|
9
|
0
|
-10
|
-2
|
-14
|
R2*(-1)
1
|
1
|
2
|
8
|
0
|
1
|
-5
|
-9
|
0
|
-10
|
-2
|
-14
|
R2*(10)+R3
1
|
1
|
2
|
8
|
0
|
1
|
-5
|
-9
|
0
|
0
|
-52
|
-104
|
R3*(-1/52)
1
|
1
|
2
|
8
|
0
|
1
|
-5
|
-9
|
0
|
0
|
1
|
2
|
X3=2
X2-5(2)=-9
X2-10=-9
X2=-9+10
X2=1
X1+1+2(2)=8
X1+1+4=8
X1+5=8
X1=8-45
X1=3
Solución:
X1=3 X2=1 X3=2
Listo... eso seria todo, espero les sea de ayuda, y si alguien del 204c esta viendo esto... Ñaa!!
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